光学設計ノーツ ４５（aver.1.0）
波面収差の展開式
今回は、光学系の結像特性を考えるにあたり、測定値、或いは光線追跡の結
果、計算値として得られる波面収差が、どのような収差的要素から構成されてい
るかを解説させていただきたい。混沌とした収差と言うものを、整理・分類して
理解する、そして除去するためにも重要な光学設計理論の部分である。内容とし
ては本連載 15 回”波面収差と光線収差”に直ちに続くものであり、ご参照願い
たい。
１． 回転対称な光学系における波面収差の展開式
本連載 15 回においては、波面収差
W
は実際には、物体面上の
x,ｙ
座標、射出瞳
面上の
u’
, υ’座標の４つの変数により定まると考えて来た。さて、ここで、図 1にある様に
上記平面に極座標系を導入して
00 cos
rx 、
cos
r
u
00 sin
ry 、
sinr
と各変数を置く。
すると、光学系に、光軸についての回転対称性が存在すると考えれば、波面収差
W
は実
はrr ,
0そして、これら二つの動径の為す角度、θ-θ0のみにより決まってしまうことが理解
できる。よって、以下のベクトル
yxr ,
0
、
,ur
を考えれば
22
00 yxrr （1）
22
urr （２）
yuxrrrr 000 cos
（３）
の３種類の変数のみを持つ関数により波面収差を表現することが可能である。これら３変
数のみで２ベクトルの絶対値、為す角度が厳密に求まり、それらの必要最低限の変数で
表現できる関数は必ず(１)-(３)式の３変数で表現できるからである。（１）（２）（３）式におけ
る量は、以下に示す、光軸を中心とした角度αの座標系回転後においても変化しない。
sincos yxx
、
sincos xyy
sincos
uu 、
sincos u
また、さらに回転対称性を考慮すれば、物体面上、物点がｚ＝０として
x
軸上に必ず存
在すると考えても、波面収差を考える場合に一般性を失わない。その場合、（１）（２）式は
2
00 yrr
（４）
yrrrr cos
00
（５）
よって、共軸光学系における波面収差を冪級数展開することを考えると、その一般形式
は、光学系の構成、物点位置により決められる係数 a0,b0,b1,…をもちいて
222 ,,,;,0 yyuWuyW
2
22
1
4
02
22
1
2
00
ucycybubyba
22
5
3
4
222
3
22
2
uycycuycyc
2
222
4
2
22
3
33
2
3
22
1
6
0
uydyudydudyd
322
8
2222
7
422
6
24
5yudyudyudyd
5
9yd （６）
と表現することができる。ここでの係数 a0,b0,b1,…は収差係数と呼ばれ、光学系の構成、
物点位置により決められる。物点が移動した場合、当然、上記 W()の3変数が同じ場合で
も、収差は変化するわけであるから、収差係数は変化する。
複雑な幾何光学的な収差(図２)も(６)式のように収差項を無限に加え合わせていくこと
で完全に表現できるはずである。別の考え方をすれば（６）式を基にして、共軸光学系に
おける様々なタイプの収差の分類が可能となる。収差を体系的に扱う、収差論の基礎とな
る考え方である。
(６)式は物体位置が決まったときに、その共役像面を中心として全ての収差を記述して
いる。物体位置、光学系の構成が不変であれば、収差係数も変わらない。また、（６）式は
（２）（４）（５）式にある通り、物体高、或いは像高と、極座標表示された、射出瞳面座標の
光線通過位置を示す動径とその角度θによって表現することもできる。
２． 収差項の検討
２．１ 参照球面半径のとり方に依存する波面収差項
ここで、（６）式における、変数のタイプのちがいにより分類される各項の内容について
検討してみよう。まず
6
0
4
0
2
000 ydycybaW （７）
ybubW 2
22
12 （８）
の２つの項について考える。
（７）式における項により表わされる収差は、ｙ座標、つまり物点の位置のみにより決ま
る。光線が光学系を通過する際の瞳座標に依存しない。このことは、瞳のどの位置を通っ
た光線（つまり一つの点光源から射出した全ての光線）も同じ波面収差を持つことを意味
する。よって、これら光線の形成する波面は球状であり、全ての光線はその中心に向かう。
そしてその中心とは理想像点であるはずである。つまり参照球面と実際の波面は同心球
面と成っている。この場合は、参照球面半径の取り方により波面収差は消える。参照球面
半径のとり方は一般的には任意であり通常、(７)式で表わされる量は収差とは呼ばれな
い。
図２ 様々な収差図形
２．２ 焦点ずれの収差項
（８）式における項は(６)式の W
０における項以外の２次の項である。ここで本連載 15
回(16),(17)式の波面収差と光線収差の関係から
uRb
u
W
Rx
1
22
（９）
yRbRb
W
Ry 21
22
よって、(２)式から、瞳上の動径
ｒ
を用いて
2
1
2
2
22rRbyRbyx （１０）
（１０）式より、瞳上に半径
ｒ
の円の軌跡を描く光線群は、像面上で
ｒ
に比例する半径の円
を描くことが理解できる(図３)。
従って像面位置を適当に移動させることにより、収差円の半径を０にし、収差を消すことが
出来る。（瞳上の光線通過位置の軌跡と、像面上の収差図形のそれぞれの半径が正比
例しているところが重要である。扇の要のような一点収束する点が存在するのでこの様な
現象が起きる。(図４)）
これは焦点ずれの収差と呼ばれ一般的な収差とは異なるものである。ピントずれの様なア
ウトフォーカス位置におけるボケを現す項である。収差では無いが、場合によっては像面
上では収差と同じような悪影響を生む。またおのずとピントの合う範囲、深度と関わってく
る。この項を観察する限り、ピンボケ収差そのものは像面上で円形にボケていく事が分かる。
ただし、その場合、ボケ中心の位置は(１０)式から理解できるように、ずれていく。像面位置
がずれると考えれば、そこでの像の高さも変化するので、当然のことである。
また、以降の実際の収差項には（光学系の本質的な結像特性を表すものである故）、
アウトフォーカス量は、像高以外には関係してこないので、ピントずれ量が、実収差に比し
大きくなれば上記の項が収差図形においては支配的となる。
２．３ 実際の収差を現す３次収差項
さて、（６）式から、(７),(８)式に次ぐ低次の項、４次の項を総て書き出せば
22
5
3
4
222
3
22
2
2
22
14
uycycuycycucW （１１）
（１１）式が、実際の収差を表わす、最低次の項よりなる式である。収差は、４次の項、５
種類の係数を持つ項より成り立っていて、４次の波面収差と呼ばれ、波面収差を瞳座標
により偏微分することにより、光線収差を導けば
uRycuRycuuRc
u
W
Rx 5
2
3
22
1
4224 （１２）
2
3
2
2
22
1
4224 RycRycuRc
W
Ry
2
5
22
5
3
42
RycuRycRyc （１３）
光線収差は物体位置、瞳座標の３次の項により表わされ、３次収差と呼ばれる。また、
ｃ１からｃ５までの５つの係数に付随して収差が分類される。これらを、ザイデル(Seidel)の５
収差と呼ぶ。ここでは詳しく触れないが、光学系による結像現象に伴う収差は、多くの場
合、このザイデルの５収差（球面収差・コマ収差・非点収差・像面湾曲収差・歪曲
収差）に基づいて分類される。本来は、様々な形で複合して、実際の結像に現われる収
差を個別に検討することができる。
（６）式においては、さらに高次の項が連続し存在していて、上記３次収差の場合と同
様に、光線収差として５次の収差、７次の収差を考えることができる。光学系の開口、画角
が大きくなれば、それらの影響も顕著になるが、高次収差を扱うのに従い、項の数、収差
の種類も非常に多くなって見通しも悪くなり、また、係数の計算も複雑になるので、実際に
は５次収差までが、Schwarzschild の９収差として検討されている。
参考文献
１） 草川 徹：レンズ光学（東海大学出版会、東京、１９８８）
２） 草川 徹：レンズ設計者のための波面光学（東海大学出版、東京、1976）
３） 辻内順平：光学概論Ⅰ（朝倉書店、東京、1979）
４） 松居吉哉：レンズ設計法（共立出版、東京、１９７２）
５） 村田和美：光学（サイエンス社、東京、１９７９）
６） 牛山善太、草川 徹：シミュレーション光学（東海大学出版会、東京、2003）
