光学設計ノーツ 66 (ver.1.1)
体積ホログラムの回折効率を考える 3
前回に引き続き厚さのある体積ホログラム(thick hologram)の回折効率(diffraction
efficiency)を考察すべく、H.Kogelnik、参考文献[2]の結合モード理論（coupled- mode theory）
（或いは結合波理論(coupled-wave theory)について解説させていただきたい。
なお、これも前回に引き続き本項においては参考文献[1]の解説が記されている参考文
献[4][5][6][7]を主に参照させて戴いている。
１． 結合モード理論・吸収率、光波の進行い方向について
前回述べたようにホログラムは十分に厚いと仮定し、存在するのは
k
1方向に進む再生
のための再生波、そして Bragg 条件と整合する回折次数を持った波動（回折波）の二つであ
ると考える。
これを以下の様に最大振幅と波数ベクトルを書き換えて表現する（本連載 64 回（10）式）。
rizSrizRrE
expexp
（６４－10）
この時,回折波の波数は以下の様に表される（本連載６４回（12）式）。
K
（６４－12）
さて、ここで図-1 にある様に諸元を考え、成分ごとに記せば、
sinB
x
（１A）
cosB
z
（１B）
sinsin KB
x
（1C）
coscos KB
z
（１D）
また、図-1 より、角度θBを考えると、
2
B （２）
である。Bragg 条件が成立すれば、
2
sin B （３）
である。ここで、(2)式から、
B
2
B
2
cos)cos(
B
sin （４）
よって、（３）式より
2
)cos( （５）
となる。さらに
0
2n
KK
（６）
であるので、（５）式は、
0
4
)cos( n
K
（７）
と出来る。
さて、ここで、（６４－10）式のベクトルの絶対値を求めると、（１）Aから D式により、
2222 cossin BB
B （８）
また、
2
2
2
22
2sinsinsin
2
sin B
K
B
K
B
2
2
2
2coscoscos
2
cos B
K
B
K
（９）
である。ここで、
sinsincoscos)cos(
であって、（７）式より
sinsin
4
coscos
0
n
K
sinsin
2 B
K
従って、（９）式は、
2
2
2
22
2sinsinsin
2
sin B
K
B
K
B
2
2
2
2cossinsin
2
2
cos B
K
B
K
B
K
（１０）
従って、
B
（１１）
となる。
２． 参考文献
[1] Kogelnik, Bell Sys.Tech. J., 48, 2909 (1969).
[2] A.Yariv：光エレクトロニクス展開編/多田邦夫、
神谷武志監訳（丸善、東京、2002）, p.676.
[3] M.Born & E.Wolf :Principles of Optics,6th edition(Pergamon Press, Oxford, 1993)
／草川徹、横田英嗣訳：光学の原理（東海大学出版会,1977).
[4] J.W.Goodman: Introduction to Fourier Optics 2nd.edi.
(McGraw-Hill, NewYork, 1996), p.336
[5] J.W.Goodman：フーリエ光学 / 尾崎義治、朝倉利光 訳（森北出版、東京、2012）p.326.
[6] 辻内順平：ホログラフィー（裳華房、東京、1997）, p.56.
[7] P.Hariharan: Optical Holography Principles, techniques and applications, 2nd.edi.
(Cambridge University Press, Cambridge, 1996), p.48.
[8] 辻内順平：光学概論Ⅰ（朝倉書店、東京、1979）.
[9] 牛山善太：波動光学エンジニアリングの基礎（オプトロニクス、東京、2005）.
