光学設計ノーツ 2 ver1.1

薄い膜による干渉・光学薄膜の基礎

今回は光学薄膜を理解する上で基礎となる、任意の屈折率を持った基盤平面上の、平面

により構成される薄い膜による干渉について考える。一般的には反射防止膜を基礎的に理

解するために良く用いられるテーマである。

１．薄い平面板としてのモデル

図1 薄い膜による干渉

図1にある様に、媒質境界面番号を定め、基盤の屈折率を

n

2、厚さ

ｈ

の薄膜の屈折率

を

n

1、薄膜の外側を空気

n

0＝1とするする。また、光波（無限に広がる平面波）が１から

n1

n2

θ1

θ2

1

2

θ3

２へ進む場合の第一面における振幅透過率、振幅反射率をそれぞれ、

t

1

,r

1とし、第 2面につ

いても同様に

t

2,

r

2を定義する。光波が２から１に逆に進む光波を考える場合には上記係数

にダッシュをつけて表現するものとする。すると、空気中に戻ってくる振幅

u

r

を得ようと

すれば、初期入力複素振幅を

u

0、薄膜内を片道通過する際の光波の位相変化をδとして、























6exp4exp2exp 12121210121210121010 itrrrrrtuitrrrtuitrturuur (1)

となる。ところで境界面の屈折・反射においての Fresnel の公式 3)p42 より媒質 1から 2へ

の入射角、屈折角をそれぞれθ１、θ2とすればｓ偏光成分について、



 

21

12

21

sin

cossin2

,

sin











ss tr (2)

また、媒質 2から媒質 1へ上記の場合と逆に進む光波を考えれば、θ１、θ2が入れ替わる

だけであるから



 

21

12

sin

cossin2

,

sin















ss tr (3)

よって(2)(3)式より

1, 2



 sssss rttrr (4)

また、ｐ偏光成分について,Fresnel の公式 3)p44 は



 

2121

12

21

cossin

cossin2

,

tan













pp tr

(5)



 

1221

21

12

cossin

cossin2

,

tan

















pp tr

従って、やはり

pp rr



 (6)

また













 





1

cossin

sinsinsin1sin

cossin

sinsin

cossin

21

2

21

2

21

2

21

2

21

2

21

2

21

2

21

2

21

2

21

2

21

2

21

2

21

2

21

2

































pp

pttr

よって、より一般的に

1, 2



 rttrr (7)

となる。これは重要な関係である。

２．反射光と透過光の強度計算

さて、この関係を(1)式に持ち込めば











6exp)1(4exp)1(2exp)1( 2

1

2

1

3

20

2

11

2

20

2

12010 irrruirrruirruruur

右辺第 2項からの等比級数は公比が







2exp

21 irr

となるので、その収束値より



















2exp1

2exp

2exp1

2exp)1(

21

210

21

2

120

10 irr

irru

irr

irru

ruur









 (8)

従って、この系から反射される光波の強度（単位面積あたりのエネルギー）は 3),P21















2exp1

2exp

2exp1

2exp

21

2

0

2

0irr

irr

uuuunI rrrr 







 



2cos21

2cos2

21

2

1

21

2

1

2

0rrrr

rrrr

u



 (9)

となる。

さて、今度は基盤内に透過する振幅について考えると、































7exp5exp3expexp 212121210212121021210210 itrrrrrrtuitrrrrtuitrrtuittuut

ここで、(7)式の関係を用いて















6exp)(5exp)(3expexp 2

3

12102

2

121021210210 itrrtuitrrtuitrrtuittuut

やはり級数の収束値を考え









2exp1

exp

12

21

0irr

itt

uut

 (10)

従って強度は



2cos2)(1

)(

12

2

12

2

21

2

02 rrrr

tt

unIt

 (11)

となる。

もし、(9)式において

r

1=

r

2=

r

なる条件が満たされているとすれば(9)式は



2cos21

)2cos1(2

24

2

0

r

uIr



 (12)

となり cos2δ＝－1の時、つまり

ｍ

を整数としてδ=(2

m

－1)πである時、(12)式より反射

光強度は０となる。これが反射防止膜（コート）の原理である。

さて、この時、透過光強度について考える。ある面における光の強度とは、単位時間に、

その面の単位面積あたりに通過するエネルギーの事である。振幅の絶対値の２乗に屈折率

を乗じた強度は光波の進行方向に直交する面における強度であることに注意すると３）p.21、

屈折後の光束の断面積の変化も考慮して、図 2に置けるスネルの屈折則を考えた様な場合、

図2 境界面での入射、屈折、反射光

境界面上において









































2

1

2

1

2

01

cos

1

cos

1

cos

1



tr AnAnAn

となる。

A

0

,A

r

,A

t

はそれぞれ、入射光、反射光、透過光の振幅である。ここで、(12)式以

前の通り、

n

1＝1、

n

2→

n

1、

A

0＝

u

0 と置き直して入射光、反射光、透過光振幅の関係を

導入して、以下の関係が得られる。

θ1

θ2

n1

n2

1

2

01

2

0

2

12

2

0

2

11 coscoscos



uurutn 





2

1

21

1

2

11

cos

cos r

n

t



(13)

同様に考えて



2

32

21

2

21

cos

cos r

n

t



(14)

上記のように

r

1=

r

2=

r

とすれば





2

21 tt



2

32

11

cos

cos r

n



(15)

従って入射光束と透過光束におけるエネルギーの比を取れば(11)(15)式より

1

cos

3

100 





tt I

I (16)

となり、入射光と反射光＋透過光の間で当然のことながらエネルギーが保存される事が分

かる。

３．参考文献

1）村田和美：光学（サイエンス社、東京、1979）

2）辻内順平：光学概論Ⅱ（朝倉書店、東京、1979）

3）牛山善太：波動光学エンジニアリングの基礎（オプトロニクス社、東京、2005）