光学設計ノーツ２４（ver.1.0）

結像の評価 MTF

白黒の細かい線が、一体どのくらいの細さのものまで、その光学系により再現可能かを示す指標が

解像力である。実際には 1mm の中に細かい線が何本解像されているのか、ミリ１０本、ミリ１００本

などの様に言われ、表現される。この解像力、あるいはその表示方法は直感的に理解し易く、また

測定によって実測値も簡単に得られるので、非常に広く光学系の性能を表わす仕様として用いら

れている。

ところが、少し考えてみれば分かる通り、結像性能のみを問題にする場合でも、細かい被写体

が写るか、写らないかのみで画像の評価をすることには無理があり、また、目視検査においても、

解像していることの判断基準の決定も難しい。そう細かくない被写体を写す場合にも、その結像に

おいて個々の要素がしっかりと認識できるほどであるとしても、その写り方にはコントラストの面など

においても違いが存在する。

より、客観的で、定量的、多面的な大量の情報が画像の評価のためには求められる。そこで、

用いられるのが、MTF（Moduler Transfer Function）あるいは、OTF（Optical Transfer

Function）と呼ばれる評価量である。上記の通りの扱い易さにより、解像力という性能を表わす言

葉は、現在でも光学系を考える場合に多く用いられ続けているが、光学設計における性能評価、

あるいは一部の写真レンズを含む、高性能な光学系の実際の性能検査においては、MTF は最も

重要な評価量として用いられている。光学設計者たちは、さまざまな条件下の光学系においての

十分な高さの MTF 値を得るために努力を続けている。

１. フーリエ変換について

基本周期Ｔで繰り返す、波形は、周期 T の正弦波を基本として

T/2 、 T/3 、 T/4 、・・・・・

と言う、周期が T の整数分の１である正弦波の要素に分解できる。そして、それらの要素の合成とし

て表現することができる。図１に詳細は後述するが、一例として矩形状の周期波が、要素波の合成

により次第に再現されていく様子を示す。

１次元の場合、合成関数を f(x)として、n=0,1,2…に対して













































02sin2cos

nnn T

xaaxf



－(1)

と表現することが出来る。この和、ｆ（ｘ）をフーリエ（Fourier）級数と呼ぶ。周期関数ｆ（ｘ）は（1）式に

ある様に、定数項と、重み付けられた、基本周波数の整数倍の周波数を持つ、cos、sin 波の合成

で表わされる。（1）式における an、bnは多数の正弦波の重みを表わす係数であり、フーリエ級数展

開において重要な意味を持つ。それらは以下の如くに計算することが出来る。















2

2cos

mdx

xxf



(m=0,1,2,… ) －（２）















2

2sin

mdx

xxf



(m=1,2,… ) －（3）

フーリエ係数を決定すれば周期関数 f(x)を様々な周波数を持つ正弦波の合成として表現す

る事ができる。

この様な表現が可能なのは(1)式の級数の直交性による。基本周波数の任意の整数倍

倍

の周波数を持つ二つの正弦波の積分は、n=m 以外の場合には正領域と負領域における積分の絶

対値が等しく成り、０になってしまう。従って、調べたい周波数の正弦波を合成関数 f(x)に乗じて積

分すれば、その周波数以外の成分の積分に対する寄与は０になり、その周波数における振幅が

(2)(3)式におけるように分離して得られる。それぞれが直交する座標軸による、ｎ次元座標系におけ

る、それぞれの軸上の単位ベクトル同士の内積は、自分自身との内積の場合以外には直交するベ

クトルの内積として値を持たない。そこでの内積と同様の形式の計算が(2)(3)式で行われていると

考えてよい。

f(x)

-1

T-T 0

図１格子状の周期関数 f(x)

図１(a ) f (x) に近づく正弦波の合成。

n=1の正弦波による。

図１(b) n= 1 ,n=3の正弦波の合成

図１(c ) n= 1,n= 3,n=5 の正弦波の合成図１(d) n=1,n=3,n=5,n=7,n=9,n=11,n=13

の正弦波の合成

さて、それでは、ここで図１に示される格子状の周期関数、

f(x)＝－１ (－T/2  x 0 )

＝１ ( 0  x  T/2 )

のフーリエ級数の算出を実際に行なおう。

f(x)か０で不連続になるので、（2）、（3）式の積分を－T/2 から０、そして０から T/2

までに分けて行なうとその結果、

an＝０

bn＝0 （ｎが偶数の場合）



 (ｎが奇数の場合)

を得る。よて、f(x)のフーリエ級数は、













 T





sin

図１(a)から(d)に特定のｎの値まで合成した関数 f(x)の様子を示す。

ここまで、f(x)を周期を持つ関数として扱ってきた。ところが実際には、我々は、光の

強度分布などの、一般的な周期を持たない関数を扱わなければならず、非周期関数に対す

るフーリエ級数の拡張を行なう必要がある。この拡張は周期 Tを無限大と考える事により

行われる。

さて、これまでｎを整数の変数とする関数と見なし、1/T の間隔で値を離散的に持って

いた。

n



周波数は以上の様に 1/T の間隔で値を離散的に持っていた。ところが、Tとする事によ

って間隔が無限小になり、nは連続的な値となる。これを周波数と記す。すると、複素数

表示を用いて、また、F(ν)をνの正弦波の重みを表すフーリエ係数として

   



  dxixxfF



2exp －(4)

   









dixFxf 2exp －(5)

(4)式における、F()を関数 f(x)のフーリエ変換、(5)式における f(x)をF()の逆フーリエ

変換と呼び、F()とf(x)は互いにフーリエ変換対の関係にあると言われる

２. OTF；点像の再現について

点光源などの大きさを持たぬ発光点、あるいは無限小の時間において生起する電気

信号などの、インパルスを表現する関数を定義しておけば、離散的なデータを扱うコンピュータに

よる様々な計算においても便利である。その一つの例として、積分値１をもつｶﾞｳｽ関数を、その積

分値はそのままに、上方に伸ばし、その幅を無限に細くした関数(x)を考えると(図２)













 2

0exp

lim









x － (6)

幅が無限に狭く、上述の通り、



1



 dxx



―(7)

なる性質を保存しているので、原点においてはその値は無限大になる。この関数をディラック

（Dirac）のデルタ関数（delta function）と呼び、インパルス関数として非常に重要な関数である。

また、





   

10exp2exp  

 dxxixxFT



－(8)

となり、デルタ関数のフーリエスペクトルは常に実数、１となる。

ここで、上述デルタ関数で光学系における点光源、あるいは被写体となる物点を表わすこととし

よう。すると（8）式から理解できるように、この点光源を表わす関数、デルタ関数は同じ強さ、振幅を

持った、連続的にその周波数が変化する無限の数の cos 波の重ね合わせで表現できる。もし仮に

総べての領域の周波数において、強さを損なう事無く、完全な振幅を再現できる光学系が存在す

るとすれば、この光学系は点光源の完全な点像を結像させる事ができる。

ところが実際の光学系においては、回折や収差の影響により点光源の像が大きさを持ってし

まう。この大きさを持った強度分布をフーリエ変換すれば、一般的にそのスペクトルは周波数によっ

て変化し、高周波成分の振幅ほど大きく減衰して行く。ある特定の周波数に着目すれば、光の強

弱の分布を波として捉えて、その空間的な周波数における正弦波格子像の結像の被写体と比べ

た強さ、再現性を定量化する事ができる。さらに、幅広い周波数領域に着目すればその光学系の

特定の物点にたいする結像性能を総合的に理解、表現する事が可能となる。

そこで、任意の周波数におけるフーリエスペクトルを、ゼロ周波数におけるフーリエスペクトル

で割って正規化したものを空間周波数伝達関数または、OTF（Optical Transfer Function）と定義

し、光学系の再現能力を定量的に表わす量とする。

１次元のフーリエ変換をそのまま２次元に拡張して、OTF を表現すれば、

(x,y)を像面上の点

像強度分布、PSF（Point Spread Function）、

、

をサジタル、タンジェンシャル（メリディオナル）方

向の空間周波数として、

   



dydxyxI

dydxtysxiyxI

tsOTF 

















 



2exp,



－(9)

分母の

OTF

(0,0)は構造が無い場合の明るさを表わしている。この基調の上に高周波成分の波が

重なり合ってくるので、平均すれば、この

OTF

(0,0)が像の全光量を表わしている。（9）式は一般的

に複素数を表わし、その絶対値を MTF（Modulation transfer function）と呼び、位相を PTF

（Phase transfer function）と呼ぶ。

３．参考文献

１）牛山善太、草川徹：シミュレーション光学（東海大学出版会、東京、2003）

２）草川徹：レンズ設計者のための波面光学（東海大学出版、東京、1976）

３）谷田貝豊彦：光とフーリエ変換(朝倉書店,東京,１９９２）