光学設計ノーツ ３３（ver.1.0）
部分的コヒーレント結像の考え方 3
ファン・シッター－ツェルニケの定理
点光源を仮定すれば、コヒーレンスの問題は時間的コヒーレンスに集約される。この
場合、前節で取り上げた、光源の周波数分布特性
E
(ν)が複素コヒーレンス度 μ12 に影響を
及ぼす。また、電球のフィラメントの様に、光源がそれぞれ、タイミング的にばらばらに
光波を発する微小光源により成り立ち、インコヒーレントな面積を持つ時、この様な光源
の広がりも、μ12 に影響を及ぼす。この影響は空間的コヒーレンスと呼ばれる。ここでは光
源の強度分布とそれによる被照明面（２次光源、或いは照明されている被写体と考えても
良い）におけるコヒーレンシーの関係について解説させていただきたい。
１．ファン・シッター－ツェルニケの定理
ここからは、この空間的コヒーレンスを取り扱うために、時間的コヒーレンスの良い
光源を仮定しよう。つまり、準単色光源の集合により光源面が形成されているとする。
M
個の微小光源（点光源）の集合と考えられる、準多色光源の中心各周波数を ω0、とする時、
図1にある様に、光源面上の点
S
m
から放射される光波による受光面上の点 Q１
‘（照明され
ている、被写体、2次光源1と考えることも出来る。）における、時刻
ｔ
での複素振幅は、こ
れら２点間の距離を
L
1
m
として、球面波の進行を考え、
mmmm LkLtiAQV 1101 /exp
－（１）
と出来る。
A
m
、ψ
ｍ
は
S
m
における、それぞれ単位面積当たりの最大振幅、初期位相を表す。
1 ここでの被照明面を新しい光源面とすれば、この面上での２点のコヒレーンスを考えることは
本連載 31 回の図 1に於けるように、２次光源のさらに後に存在する像面上の強度分布を考える
ことに直結する。
ｋ
はω
0を考えた場合の波数である。同様に考えて、光源の各点光源から影響を受ける、受
光面上の点 Q’１、Q’２における複素振幅は、
m
=１，２，・・・・・
M
として、
mmmm
M
m
LkLtiAtV
110
1
1
/exp
－（2）
mmmm
M
m
LkLtiAtV
220
1
2
/exp
となる2。受光面上のコヒーレンシーを考えるために、本連載 32 回(9)(10)式における準単色
光源の場合の相互強度（31 回(5)式参照）、
tVtVQQJJ
21211212
,0
－（3）
を計算すれば、Q2’における
ｍ
を
ｎ
と表記しなおして、
2 Q'1点において+kL1m の分だけ、波の進行に伴い遅れて Sm 上の位相が到達する。
nm
nmnm
M
nm nm LL
LLiki
AAQQJ
21
21
1,
2112
expexp
,
－（4）
と出来る。ところが、空間的にインコヒーレントな光源を考えているので、(4)式における
時間平均を考えると、特定の点光源からの光波は他の点光源からの光波とは、位相の関係
を一定に保てなくなるので
ｍ
≠
n
の場合の項は消え、(4)式は以下の通りになる。
mm
mm
M
nm mm LL
LLik
AAQQJ
21
21
1
2112
exp
,
－（5）
従って、最大振幅の絶対値の 2乗の時間平均を強度として（後述(9)(10)式における正規化
も踏まえて）、
mm
mm
M
nm mLL
LLik
IQQJ
21
21
1
2112
exp
,
－（6）
と、表せる。ここで離散的なこの式を連続的に拡張する。光源の微小面積を
ｄｓ
、光源の
座標 Sに依存する強度分布を
I
（S）とし、やはり Sについての関数として、
L
1
m
、
L
2
m
を単
に
L
1、
L
2と置いて、
SdS
LL
LLik
SIQQJ
21
21
2112
exp
, －（7）
と出来る。また、
SdS
L
SI
QIQJ 2
1
1111 、
SdS
L
SI
QIQJ 2
2
2222 －（8）
となる。さらに、(7)、（8）式、そして本連載３２回(11)式、
2211
12
12 JJ
J
（32－11）
より
SdS
LL
LLik
SI
QIQI 21
21
21
12
exp
1
－（9）
である。さらに光源の積分範囲を微小と考えれば、(7),(8)式分母の
L
1、
L
2の2乗のオーダ
ーの項は一定として積分外に出すことが出来、
S
S
dSSI
dSLLikSI
21
12
exp
－（10）
とすることも出来る。
ここでもし図 2において開口 Aを通過して Q’2に収束する球面波を考えれば、この球
面波は収束点から
L
2の距離にあるスクリーン上の点 Sにおいては、
a
(
S
)/
L
2でSにおける
最大振幅を表すとして
ti
L
ikL
SatSV
exp
exp
,
2
2
－（11）
と表せる。この式でスクリーン上の振幅分布が得られ、スクリーン上の各々の 2次光源か
らQ’1に回折光としての影響を及ぼす発散する２次球面波、
ti
L
ikL
tSV
exp
exp
,
1
1
－（12）
が発生するので、斯様にホイヘンス－フレネルの回折理論からの帰結として、Q’1における
複素振幅分布として、時間項を落して
AdS
LL
LLik
Sa
N
QU
21
21
1
exp
1
－（13）
なる式を得る。（N’はSから Q'1、Q’2への方向の角度差が微小と置いた時の定数である。）
この式は(7)式と同じ形式の式であり、Q'2を回折中心とする Q’1 のホイヘンス－フレネルの
回折理論による複素振幅が、Q'2、Q’1間の相互強度に比例することが、そしてその値を開口
上の振幅分布で正規化した値が複素コヒーレンス度と一致することが表わされている。こ
の事柄をファン・シッター－ツェルニケ（van Citter－Zernike）の定理と呼ぶ。
さて、ここでさらに、図 1にある様に座標系をとり、
S
m
,Q1’,Q2’の座標をそれぞれ(
x
s
,
y
s
)、
（
X
1',
Y
1’）、（
X
2’,
Y
2’）とすると、２平面間の光軸上の距離を
D
に比べて、これらの座標が十
分小さい場合には、一次近似をとり、
2
2
1
2
11 DyYxXL SS
2
1
2
1
2
1
SS yYxX
D
D －（14）
同様に
L
2についても考えて、
SS yYYxXX
D
YXYX
D
LL 2121
2
2
2
2
2
1
2
121
1
2
1
－（15）
となる。この（15）式を（13）式に代入すると、（15）式右辺第１項は
ｘ
s
,
ｙ
s
に
関する積分
とは関係がないので ψ と置いて、また、
I
(
S
)を座標の関数
I
(
x
s
,y
s
)、
dＳ
は
dｘ
s
,
dy
s
として、
SSSSS
SSSSSSS
dydxyxI
dydxy
D
YY
x
D
XX
ikyxIik
,
exp,exp
2121
12
―（16）
となる。光源強度分布のフーリエ変換が複素コヒーレンス度であることが分かる。また、
これは本連載 27 回(16)式における瞳関数とフラウン・ホーファー回折像との関係と同様で
ある。これはファン・シッター－ツェルニケ（van Citter－Zernike）の定理の遠方領域
における形である。ここでは、複素コヒーレンス度は受光面上の２観測点間の距離の関数
となっている。
２． 参考文献
１） M.Born & E.Wolf : 光学の原理Ⅰ、第 7版／草川徹訳（東海大学出版会,2005)
２） 小瀬輝次：フーリエ結像論（共立出版社、東京、１９７９）
３） 牛山善太：波動光学エンジニアリングの基礎（オプトロニクス社、東京、2005）
４）Emil Wolfe ：Introduction to the Theory of Coherence and Polarization of Light
(Cambridge University Press,Cambridge,2007)
