光学設計ノーツ 65 (ver.1.2.1)
体積ホログラムの回折効率を考える 2
前回から厚さのある体積ホログラム(thick hologram) の回折効率(diffraction
efficiency)について考えさせて戴いている。今回からは数回に分けて厚さを持つホログラム
を解析する際に有益で、多く用いられる H.Kogelnik、参考文献[1]の結合モード理論
（coupled- mode theory）（或いは結合波理論(coupled-wave theory)について解説させてい
ただきたい。
薄いホログラムの場合と異なり厚いホログラム内では光波の挙動は複雑であり（入射
光は減衰し、射出光は増大することが計算に採り入れられていなくてはならない）、open で
FarField 的な回折計算は上手く適応できない。そこで、Maxwell の電磁方程式に対して適
切に近似を用いる結合モード理論により比較的簡便に回折効率を計算することができ、
Bragg の条件からのホログラム再生のための再生光の角度、あるいは波長の誤差の許容量
も得られる。
また、本連載第 61 回で触れさせていただいた様に、十分に厚いホログラムにおいて
Bragg 条件が成立する場合には、薄い場合と異なり､多くの回折次数の回折波は Bargg 条件
を満たさないため極端に減衰していき無視できるものとなる。従って、Bragg 条件の角度
（或いは波長）に近い参照波が用いられた場合には入力の参照光と出力の信号波のみ考慮
に入れればよい事になる。これも結合モード理論の重要なポイントである。
なお、本項においては参考文献[1]の解説が記されている参考文献[4][5][6][7]も参照さ
せて戴いている。
１． 結合モード理論・吸収率、屈折率変化の近似のための仮定
前回本連載 64 回における諸元において以下の様な大小関係が成立していると考える。
0
2
n
1
2
n （１）
10 nn 
αは吸収係数(absorption constant)であり、n0はバックグラウンドの平均屈折率であ
る。n1,α1は干渉による屈折率、或いは吸収係数の変調の最大振幅を表す。因みに n1は、干
渉による最大振幅と
211 AAn
なる関係にある。
(1)式の条件においては、吸収係数αは振幅が 1/e に低下する伝達距離の逆数として参
考文献[4]では用いられているので、１波長分程度の距離における吸収は非常に小さいこと
を、また、屈折率の変化は全体の平均値より遥かに小さいことを仮定している。
2. 結合モード理論・一般的な波数の表現
本連載 62 回(16)式、
01
22
EiE

(62-16)
64 回(18)式、
0
22 EkE
(64-18)
を比較して、結合モード理論のために波数の表現する一般的な形として誘電率ε、透磁率μ、
電気伝導率σ、角周波数ωを用いて、

ik 1
22
(2)
と出来る。さらに、

ik 22 (3)
ここで、比誘電率εr、比透磁率μrを考えると、
0
r
(4)
0
r
従って
00

rr
2
crr
(5)
従って(3)式は

i
c
krr 2
22
(6)
μ
r
は一般的に 1とおけるので、簡便のため以降、比誘電率をεと表わせば、(6)式は

i
c
k 2
2
2
(7)
比誘電率、電気伝導率に、前回 64 回における(6),(7)式と同様の形で（ここでのε0は比誘電
率の変化の中心値を表す）、

rkr
cos
10
（8）

rkr
cos
10
（9）
なる関係が成立する。
さて、ここで(7)式に(8)(9)式を代入すれば、

rkirk
cc
k
coscos 101
2
2
0
2
2
2

となり、計算して行って、
 
0
0
1
0
1
2
2
00
2
2
coscos


irkirk
cc
となる。ここでさらに、平均吸収係数α、平均波数
B
、
0
0
2
c
（6）
0
2
B （7）
さらに、結合係数（coupling constant）κ、
0
1
0
1
2
4
1

c
i （8）
を導入する。
（5)式を、これらの係数を鑑み、
 
0
0
1
0
1
00
2
2
22
coscos

cirk
c
irk
ccc
k
と変形すれば
BirkBBk 2cos4
22
（9）
なる関係が直ちに得られる。
3． 参考文献
[1] Kogelnik, Bell Sys.Tech. J., 48, 2909 (1969).
[2] A.Yariv：光エレクトロニクス展開編/
多田邦夫、神谷武志監訳（丸善、東京、2002）, p.676.
[3] M.Born & E.Wolf : Principles of Optics,6th edition(Pergamon Press, Oxford, 1993)
／草川徹、横田英嗣訳：光学の原理（東海大学出版会,1977).
[4] J.W.Goodman:Introduction to Fourier Optics 2nd.edi. (McGraw-Hill, NewYork, 1996), p.336.
[5] J.W.Goodman：フーリエ光学 / 尾崎義治、朝倉利光 訳（森北出版、東京、2012）, p.326.
[6] 辻内順平：ホログラフィー（裳華房、東京、1997）, p.56.
[7] P.Hariharan: Optical Holography Principles, techniques and applications,2nd.edi.
(Cambridge University Press, Cambridge, 1996), p.48.
[8] 辻内順平：光学概論Ⅰ（朝倉書店、東京、1979）.
[9] 牛山善太：波動光学エンジニアリングの基礎（オプトロニクス、東京、2005）.