光学設計ノーツ 83 ver.1.0
多数の波動による干渉、波動の合成の考え方 3
今回もまた、前回に引続き干渉を考える上で常に重要となる正弦波動の合成
て解説させていただきたい。
1. 波動の複素表示と強度の計算
元々、合成された振幅
u
は正弦波の合成として以下の様に(80 (10))表現できた。
=
cos
sin( +
) +
sin
cos( +
)
(80-10)
ここで
=
cos
= cos (1)
=
sin
= sin (2)
と新たな時間変化に対して一定な、波動を便宜的に考えた。同一の周波数の正弦波を幾つも
考えた場合には、それらが合算された場合に、その結果も正弦波になることについても前回
に解説させていただいている。
= cos sin( +
) + sincos( +
)
(3)
或いは
= sin( +
) + cos( +
)
(4)
(3)式は加法定理を使って再びまとめてみると
= sin( +
+ )
(5)
よって、uの最大振幅は Aであり、最大強度 Iは、
=
2
+
2
= (cos)
2
+ (sin)
2
=
2
(6)
とできる。また、この時の位相εは、以下の関数から求められる(図 1
tan =
sin
cos
=
sin
cos
=
(7)
従って、
||
=
+
=
(8)
とすれば
= +  (9)
= exp!" (10)
という波動の一般的な複素表示が可能になる。
1 位相εの表現
2(4)式の計算結果を示す。A2としている。位相(ωt+ε0)についてはランダム
に値を代入している(図の場合4種類)(5)式からも分かる通り、(ωt+ε0が変化しても、
A
A
cos
ε
A
sin
ε
i
0
ε
正弦波が横にずれるだけである。
2 (4)式における u の計算結果(縦軸)。横軸は度
2. 最大振幅、初期位相の異なる多数の正弦波の合成
本連載、前回において
cos
=
cos(# + $
)
(82-3)
で表される、波長が一定で、最大振幅 Aと初期位相φが異なる波動の合成、
cos(# + $
)
(11)
がやはり正弦波となることを示した。位相の異なる同じ波長の波動が膨大な数、重なり合っ
ても波動が完全に消えてしまう事は無い。図 3には(11)式において、振幅 A0から 1
間に、初期位相φを-180 度から 180 度の間にランダムに発生させた、波動 100000 個の
合成結果が示されている。やはり正弦波となる。