LED 照明ノーツ５

基本的な反射、拡散における BSDF について

前回は物質表面の反射・拡散・透過特性を表す関数、BSDF の基本的な定義・

性質について説明させていただいた。理論的な様々な数式からこの関数を決定す

る事は勿論可能であるし、測定値からこの関数を決定していく事も可能であると

言う、実に応用性に富んだ概念である。またどの様な BSDF 関数が、換言すれば、

拡散分布が、使用目的を達成するために、光学要素の表面に施されるのが適当

か？等の解析的な考察にも役に立つ。今回はそうした折にも有用である、完全拡

散、整反射などの基本的な光学現象における BSDF 関数について触れさせていた

だきたい。

１． BRDF による強度反射率の表現

前回における BSDF の定義を再び記させていただけば、以下の通りである。









iiii

rr

ri ddL

dL

BRDF







cos

,



  (0)

微小面積

dA

への入射光全体の齎す、特定の方向への反射輝度は、当然のこ

と、

dA

を囲む半球全体の立体角の積分として、以下の様に表わされる(図1)。

  





 iiiiirirr dLBRDFL



cos,





(1)

また、強度反射率 Rは入射と反射のエネルギーの比、

i

r

I

R (2)

として表わされた。よって、(1)式をさらに、反射角度を考慮し、反射方向半球

の全立体角について積分すると、単位面積から反射される全エネルギー・放射発

散度が計算できるので、これを全体の入射光による照度で割れば、(2)式と同様

の計算が成り立ち、以下の様に、強度反射率 Rが得られる。















 



i

ri

iiii

ririiiri

dL

ddLBRDF

R





cos

coscos,



(3)

２．整反射における BRDF

ここで、媒質境界面おいての、強度反射率 100%の完全な反射を仮定し、BRDF

の用いられ方の一例として、その場合の BRDF について考えてみよう。図 2に

ある様に入射・射出方向を、法線との角度、方位をで表わせば、完全な反射の

場合、スネルの反射則より、

ir



 、









ir (4)

完全な反射であれば、入射光と反射光の輝度は等しいので、





















rrirr

rLL ,, (5)

となる。また、立体角について考えれば、半径

r

の円の、角度

a

ラディアンの扇

形の円弧の長さは

ar

なので、(4)式の立体角の積分を角度、方位の積分に書き換

えて、

 

 





2

0

2

0sincos,, iiiiiiiirrrr ddLBRDFL (6)

となる。ここで、デルタ関数を考えれば、

x

0 であれば





0



x



そして、





 1dxx



よって、上記(４)、(５)式の条件を成立させるためには、以下の値が BRDF 値と

して推測される。











ii

riri

ir

BRDF













sincos









 (7)

因みにこの(7)式を(6)式に代入すると、デルタ関数の別の性質、

 



  yfdxxfyx



(8)

より、

    

 





2

0

2

0,, iiiiiririrrr ddLL

 

 2

0,





iriiri dL













rri

L, (9)

となり、(5)式を成立させる BRDF の値であることが理解できる。また、非誘電

体境界面においては、フレネル反射強度７）P236 を(7)式右辺に乗じ、フレネル反

射を考慮した BRDF を設定でき、さらにコーティングの影響も入射角度の関数

として付加することも可能となる。この様な場合には当然、同時に生起する透過

光に対する BTDF による計算が必要になる。

３．完全拡散面における BRDF

完全拡散（Lambasian）面反射における BRDF について検討してみよう。

定義（その名）の通り完全拡散面においては如何なる角度で光線が入射しようと

も、反射輝度はどの方向に対しても一様になる。つまり、BRDF も一定の値にな

るので、この場合(1)式は、









iiiiirr dLBRDFL



cos



i

EBRDF



 (10)

となる。ここで、完全拡散における反射率を、上記の通り入射全放射束と反射全

放射束との比で表わせば、式中から面積が消えて、(3)式から、













i

r

iiii

rrrr

i

r

dL

I

R



cos



(10)式より、

i

rri

E

dEBRDF r









cos

B

RD

F





(11)

となり、



R

BRDF  (12)

なる関係で、強度反射率と BRDF は結ばれる。仮に透過・吸収が無ければ BRDF は

1/となる。斯様に反射率と、完全拡散の様な面の特性を同時に表現できるのが

BRDF の優れているところでもある。

４．直接透過光における BTDF の計算

ここで、既出第 2節の整反射における BRDF と対を成す、スネルの法則で

表わされる透過光についての BTDF について簡単に触れさせて戴く。この場合

にも(6)式と同様の式が入射光と透過光、BTDF について成り立つ訳であるが、

フレネル強度透過率を

T

で表わせば、クラウジウス（Clausius）の関係７）P64、

８）(10)式、









d

S

dndSdn



coscos 22 (13)

と、反射・吸収がない場合の放射束の保存性、









d

S

d

L

dSd

L



coscos (14)

から、

L

n

L

















2

(15)

となるので、

 

















rii

i

t

tt

tL

n

TL ,,

2

(16)

と言う輝度同志の関係が導かれる。更に、球表面上での帯面積と球の直径に投影

した帯の巾との関係７）P45、

rdx

s



2





(17)

を考えれば、これはつまり、球半径の

ｒ

が決まれば、球面上のこの様な帯の表面

積は、帯を切り取る、二つの円盤の

ｘ

軸上の間隔

dx

のみにより決まることを意

味するが、この場合、





i

ddx



cos



(18)

と考える事ができるので帯の面積は、





i

ds





cos2





となり、角度 dの動きにより切出される帯上の弧の長さは d/2となるので、

微小立体角を、









2

cos2 i

ii d

dd  (19)

と表わすことが出来る。また、この後 BTDF を求める際に、スネルの屈折則を

反映させるために、デルタ関数の中の変数が sinの形になってしまう。そこで本

文中のデルタ関数の性質を利用するために積分変数を sinの形に一致させてお

く必要が生じる。ここで、







iii dd



sintancos



なる関係を利用して、





iiii ddd







sintan (20)

として(8)式と同様の形式の積分を行なうとすれば、



i

titi

it

i

t

i

tn

n

TBTDF





sin

sinsin

2

























 (21)

とBTDF を設定することが出来る。上記の BRDF の場合と同様の検証が可能で

ある。

５．参考文献

1) J.C.Stover:Optical Scattering(SPIE Press,Bellingham,1995)

2) E.F.Church & P.Z.Takacs:SCATTERING THEORY,HAND BOOK OF

OPTICS (McGraw-Hill,New York,1995)

3) M.F.Cohen,J.R.Wallace:Radiosity and Realistic Image synthesis

(Morgan Kaufmann,San Francisco,1993)

4) F.E.Nicodemus,et al.:”Geometrical Considerations and Nomenclature for

Reflectance”,NBS Monograph 160,1977

5) “TracePro Users Manual”（Lambda Research Corp.,Littleton,1995）

6) 鶴田匡夫:第 5・光の鉛筆(新技術コミュニケーションズ,東京,2000)

7) 牛山善太：シミュレーション光学（東海大学出版、東京、2003）

8) 牛山善太：光学設計ノーツ第 17 回（オプティカルソリューションズ HP）

http://www.osc-japan.com/service/s05_17